小學，我們都曾把玩繡曲線，見下圖。

關於繡曲線，記得我的小學老師驚喜地告之：『看，我們竟然利用直線製作曲線！』好了，一路到中學畢業，我也沒有進一步問：究竟這個曲 線是什麼？或曰，這曲線之方程式為何？要用高深知識解嗎？不需要，只要中四程度便可。

不況設紅線上的任意一點為 P(x , y)，找紅線之方程即找 x 和 y 的關係。參下圖：

由繡曲線的構作方式，必存在一條（唯一一條）直線段，穿過 P(x,y)。命該直線之一個端點為 (0,t)，由繡曲線的構作方式，我們不妨命另一 端點為 (1-t,0)（見圖），由 intercept form，立知該直線段之方程為

--- (*)

精采部分來了。

如前所述，若 (*) 中的 (x,y) 落在紅線上，那麼這點 (x,y) 只能落在唯一一條直線段落上，即對於某一固定的 P(x,y)，只能有唯一一個 t 值滿足 (*)。

若 (x,y) 不是落在紅線上，它可能落在紅線之左面，如 Q 點；也可能落在紅線之右面，如 R 點；

參圖，可見有兩條直線段穿過 Q，即是說把 Q 的 x，y 坐標代入 (*)，便有兩個 t 值滿足 (*)；另外，我們見沒有直線段穿過 R，即是說把 R 的 x，y 坐標代入 (*)，便有沒有 t 值滿足 (*)。

所以，要找紅線方程，只視 (*) 為關於變數 t 的方程，並使這方程有 unique solution（唯一解）。

把 (*) 變形，可知 (*) 是關於 t 的二次方程

若上式有唯一解（unique solution 或 repeated root），即 Δ = 0。即紅線之方程式為：

修讀純數學的同學，你可知這方程代表一個什麼樣的圓錐曲線（conic section）？

完成了這個『皮毛』的結果，劉博士進一步把問題變化，把直線段的構作形式由連起端點 (0,t) 及 (1-t,0) 變成（1）固定直線段之下的面積 ；或（2）固定直線段之長度，甚至（3）不把曲線『繡』在 x-軸 及 y-軸之上，而是『繡』在任意直線 及 之上，那麼繡出的曲線方程是什麼？解答如下：

（1）雙曲線（hyperbola）
（2）星狀線 (astroid)：劉博士稱這是他在中學教書時，有同學發現巴士的門開關時留下的印，問他該印的邊緣之方程是什麼，故劉博士解之 。

（3）如前所述，曲線為切於 L1 及 L2 之拋物線，若連切點之直線方程為 ，要得該曲線之方程，可先得該方程之圓錐曲線對偶 （duality），即

再找其關連矩陣（associated matrix）之逆矩陣（inverse matrix）其對應的圓錐曲線，就是了。說到這裡，便匆匆殺入 Duality of conic sections 的討論，有機會再詳談吧！